Entiers modulo m

Au livret 17 (structure de groupe), nous avons étudié les rotations qu'on faisait subir au couvercle hexagonal d'un puits. L'ensemble d'opérateurs était constitué par l'ensemble des rotations d'1/6 de tour.

On avait remarqué par exemple que:

‑tourner de 7 (7/6 de tour), c'est pareil que tourner de 1 (1/6 de tour)

‑tourner de 8, c'est pareil que tourner de 2. etc. On avait ainsi construit le tableau:

T0	T1	T2	T3	T4	T5
T6	T7	T8	T9	T10	T11
T12	T13	T14	T15	T16	T17
T18	T19	T20	T21	T22	T23
T24	T25	T26	T27	T28	T29

Dans chaque colonne se trouvent les rotations "qui sont pareilles", c'est à dire qui transforment de la même façon la position du couvercle.

Chaque colonne matérialise une classe d'équivalence.

La relation R:" transforme de la même façon la position du couvercle " permet d’établir, entre tous les éléments d'une même colonne, une relation d'équivalence. (Voir p 9, livret 17).

Elle permet d'établir une partition de l'ensemble des rotations d’ 1/6 de tour en 6 classes d'équivalence.

Par analogie, certains enfants ont écrit ce tableau:

0	1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29

Ils ont remarqué, dans ce dernier tableau:

‑La 1ère colonne est la table des multiples de 6;

‑Tous les éléments d'une même colonne donnent le même reste dans la division par 6.

Ce reste est d'ailleurs indiqué à la 1ère ligne du tableau:

9 = (1 × 6) + 3 21 = (3 × 6) + 3